Jikan pada bilangan 1.248 pangkat n adalah suatu bilangan bulat positif,nilai n agar angka satuannya 8 adalah a.2.013 b.2.014 c.2.015 d.2.016 Jawaban Untuk Loncat ke konten MENU Teori Bilangan PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2021 01iiKATA PENGANTARSyukur alhamdulilah senantiasa kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telahmelimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan modul ini untukmemenuhi tugas mata kuliah Teori menyadari bahwa dalam penyusunan modul ini tidak terlepas dari bantuan banyakpihak serta saran dan kritik sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Kami sangat berharapbahwa modul ini dapat berguna dalam menambah pengetahuan dan wawasan. Kamimenyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh dari kata sempurna karena terbatasnyapengalaman dan pengetahuan yang kami modul ini dapat berguna bagi kami maupun orang lain yang membacanya dan dapatbermanfaat. Sekiranya ada kesalahan kata yang kurang berkenan kami mohon maaf yangsebesar-besarnya demi kebaikan bersama kami ucapkan terimakasih. Metro, Juli 2021 Penyusun iiiDAFTAR ISIHALAMAN JUDUL.........................................................................................................iPETA KONSEP............................................................................................................... iiKATA PENGANTAR.................................................................................................... iiiDAFTAR ISI................................................................................................................... ivMATERI 1 METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.......................... 1A...Mengapa Kita Perlu Pembuktian................................................................................1B...Metode Pembuktian....................................................................................................2MATERI 2 DEFINISI KETERBAGIAN.................................................................... 11A...Definisi Keterbagian.................................................................................................11B...Ciri Habis Dibagi......................................................................................................12C...Contoh Soal.............................................................................................................. 14MATERI 3 TEOREMA KETERBAGIAN................................................................. 16A...Algoritma Pembagian............................................................................................... 16B...Pembagi dan Faktor Persekutuan Terbesar.............................................................. 16C...Algoritma Euclides................................................................................................... 19D...Kelipatan Persekutuan Terkecil................................................................................20E... Persamaan Diophantine............................................................................................ 22MATERI 4 ALGORITMA PEMBAGIAN................................................................. 26A...Algoritma Pembagian............................................................................................... 26B...Aplikasi Algoritma Pembagian................................................................................ 27MATERI 5 KEKONGRUENAN..................................................................................29A...Definisi dan Sifat Kekongruenan............................................................................. 29B...Aplikasi Kekongruenan............................................................................................ 31C...Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat..................................................................31D...Ciri Habis Dibagi......................................................................................................33MATERI 6 FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR..............................................37A...Pengertian Faktor Persekutuan Terbesar FPB....................................................... 37B...Metode Faktor Persekutuan Terbesar FPB............................................................ 37MATERI 7 KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL........................................44A...Definisi dari KPK..................................................................................................... 45B...Macam-macam Teorema KPK................................................................................. 45C...Sifat-sifat dari KPK.................................................................................................. 47D...Metode dalam Menentukan KPK............................................................................. 48 ivMATERI 8 ALGORITMA EUCLID KONGRUENSI LINEAR..............................50A...Algoritma Euclid...................................................................................................... 50B...Cara Kongruensi Linier............................................................................................ 52MATERI 9 BILANGAN PRIMA.................................................................................55A...Definisi Bilangan Prima & Bilangan Komposit........................................................ 55B... Teorema-Teorema......................................................................................................55MATERI 10 TEOREMA FERMAT............................................................................58A...Definisi Teorema Fermat..........................................................................................58B...Generalisasi Metoda Faktorisasi Fermat.................................................................. 58C...Akibat Teorema Fermat............................................................................................59D...Teorema “Litle” Fermat............................................................................................59MATERI 11 TEOREMA EULER............................................................................... 61A...Fungsi Euler..............................................................................................................61B...Teorema Euler.......................................................................................................... 62C...Bukti Teorema Euler................................................................................................ 63D...Contoh Soal.............................................................................................................. 66DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................... 68 vMateriA. Mengapa Kita Perlu Membuktikan Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dijelaskan secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory. To establish a fact with certainty merupakan motivasi paling dasar mengapa orang perlu membuktikan suatu pernyataan matematika, yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar. Tidak dapat dipungkiri selama ini banyak kebenaran fakta di dalam matematika hanya dipercaya begitu saja tanpa adanya kecurigaan terhadap kebenaran tersebut, tidak berusaha membuktikan sendiri, termasuk fakta-fakta yang sangat sederhana. Kita hanya menggunakan fakta tersebut karena sudah ada dalam buku it was in the text, atau karena sudah pernah disampaikan oleh guru kita. Memang tidak semua fakta matematika yang dipelajari harus dipahami buktinya. Faktor kepadatan materi dan keterbatasan waktu masih merupakan kendala klasik yang dihadapi oleh pengampu matematika. Namun beberapa fakta sederhana pun sering diabaikan pembuktiannya. Suatu ilustrasi ketika kita mengajar tentang himpunan bilangan real kita pasti menyampaikan bahwa himpunan bilangan real yang disimbolkan dengan R terpecah menjadi dua himpunan bagian yang saling asing, yaitu himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan irrasional R/Q. Sangat mudah dipahami untuk definisi bilangan rasional, tetapi tidak begitu jelas pada definisi bilangan irrasional. Bilangan irrasional hanya didefinisikan sebagai bilangan real yang bukan rasional. Pertanyaannya, pernahkah kita membuktikan bahwa 2 , dan e merupakan bilangan irrasional? Bila bilangan irrasional dapat dicirikan oleh tidak berulangnya angka-angka desimalnya maka bukti ini bersifat temporer. Misalkan seorang siswa dapat menunjukkan bahwa 100 digit angka pada bentuk desimal bilangan tidak berulang maka siswa tersebut menyimpulkan bahwa irrasional. Tapi begitu ada siswa lain yang dapat menunjukkan terdapatnya pola pengulangan, misalnya mulai dari digit ke- 150 maka klaim siswa pertama tadi gugur dan harus disimpulkan bahwa ⇒ rasional. Kesimpulan siswa pertama di atas didasarkan pada intuisi bukan didasarkan pada metoda pembuktian yang sahih. Banyak pembuktian yang tidak hanya membuktikan suatu fakta Modul Teori Bilangan 1tetapi juga memberikan penjelasan tentang fakta tersebut. Disinilah, pembuktian teorema berfungsi untuk mendapatkan pemahaman to gain understanding. Seorang pemenang medali ”field”, Pierre Deligne meyatakan bahwa ”I would be grateful if anyone who has understood this demonstration would explain it to me.” Pernyataan ini mengandung makna bahwa bilamana seseorang dapat menjelaskan kembali apa yang sudah dijabarkan oleh Pierre Deligne maka dapat dipastikan bahwa orang tersebut telah memahaminya, mungkin saja penjelasan yang telah disajikan oleh Pierre ada bagian-bagian yang belum jelas. Terkadang, beberapa orang mempunyai pendirian sangat kuat bahwa suatu konjektur adalah benar. Keyakinan ini mungkin berasal dari penjelasan informal atau dari beberapa kasus yang ditemuinya. Bagi mereka tidak ada keraguan terhadap keyakinan itu, tapi belum tentu berlaku untuk orang dari kelompok lain. Disinilah bukti dapat dijadikan sarana untuk meyakinkan orang lain akan kebenaran suatu idea. Akan tetapi untuk menyusun bukti formal terhadap kebenaran suatu fakta tidaklah mudah. Mengikuti bukti yang sudah ditemukan dan disusun orang lain saja tidak mudah apalagi menyusun sendiri. Membuktikan merupakan tantangan sendiri para matematikawan, membuat penasaran dan begitu terselesaikan maka diperoleh kepuasan intelektual. Ibarat seni, matematika itu indah. Ini paling tidak pendapat para matematika. Bagi orang awam keindahan matematika terlihat dari pola dan struktur objek matematika, seperti bilangan, bangun geometri, simulasi matematika pada komputer. Namun bagi mereka yang sudah mencapai begawan matematika, keindahan sesungguhnya dari matematika the real beauty of mathematics terletak pada pola penalaran yang berupa interkoneksi argumen-argumen logis. Ini tercermin pada pembuktian teorema. Keberhasilan memformulasikan satu konjektur, kemudian dapat membuktikannya maka satu masalah dalam matematika terselesaikan. Penelitian matematika pada level yang lebih lanjut menuntut dihasilkannya suatu teorema baru yang buktinya dapat diuji oleh orang lain. Berbeda dengan motto PERUM Pegadaian ”mengatasi masalah tanpa masalah”, maka dalam matematika setiap kali berhasil memecahkan suatu masalah maka akan muncul masalah baru. Masalah-masalah baru ini biasanya muncul melalui langkah-langkah dalam pembuktian teorema baik langsung maupun tidak langsung. Mungkin motto pada PERUM Pegadaian bila diadaptasikan pada matematika berbunyi sebagai berikut ”memecahkan masalah dengan menimbulkan masalah baru”. Masalah dalam matematika tidak bermakna negatif, tapi malah menambah keindahan dan tantangan orang-orang yang menekuni Metoda Pembuktian Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru. Sebagai contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i2 = -1. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan Modul Teori Bilangan 2sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya, untukmemahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika Bukti Langsung Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi ⇒ . Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan ⇒ benar dimana diketahui p benar. Contoh 1 Buktikan, jika x bilangan ganjil maka 2 bilangan ganjil. Bukti Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai = 2 − 1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, 2 = 2 – 1 2 = 4 2 + 4 + 1 = 2 2 2 + 2 + 1 = 2 + 1; Misalkan, = 2 2 + 2 Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan 2 Bukti Tak Langsung Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi ⇒ ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ⇁ ⇒⇁ . Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya. Contoh 2 Buktikan, jika 2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil. Bukti Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena 2ganjil maka dapat ditulis x = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m. Selanjutnya = 2 + 1 tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah ”Jika x genap maka genap”. Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis = 2 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, 2 = 2 2 = 2 2 2 = 2 Misalkan, m=2n2 yang merupakan bilangan genap. Modul Teori Bilangan 33. Bukti Kosong Bila hipotesis p pada implikasi ⇒ sudah bernilai salah maka implikasi ⇒ selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran ⇒ Contoh 3Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut Diberikan dua himpunan Adan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis ⊂ jika pernyataanberikut dipenuhi ”jika ∈ maka ∈ ”. Suatu himpunan dikatakan himpunankosong jika ia tidak mempunyai himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan Misalkan = suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Kita akantunjukkan bahwa pernyataan ”jika ∈ maka ∈ ” bernilai benar. Karena Ahimpunan kosong maka pernyataan p yaitu x 2 A selalu bernilai salah karena tidakmungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong. Karena p salah makaterbuktilah kebenaran pernyataan ”jika ∈ maka ∈ ”, yaitu ⊂ . Karena Bhimpunan sebarang maka bukti Bukti Trivial Bila pada implikasi ⇒ , dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran ⇒ Contoh 4Buktikan, jika − . Untuk n ini berlaku − > 1 *Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari na, danberlaku − 1 ≤ 0 . . . ”, ”untuk setiap bilangan asli n . . .”, ”untuk setiap fungsi kontinu f . . .”, dan lain-lain. Tidak mungkin dapat Modul Teori Bilangan 7ditunjukkan satu per satu untuk menunjukkan kebenaran pernyataan tersebut. Tapi adasalah satu pola penalaran pada matematika yang menggunakan prinsip induksi,biasanya disebut induksi matematika. Prinsip induksi matematika ini adalah untukinferensi terhadap pernyataan tentang n dimana n berjalan pada himpunan bilanganbulat, biasanya himpunan bilangan asli N atau pada himpunan bagian bilanganasli, 1 ⊂ . Biasanya pernyataan tentang bilangan asli n dinyatakan dengan Pn.Contoh 9Untuk setiap ∈ , berlaku 1 + 2 + 3 + …. . + 1 + 1Diperoleh 2 1 1 1 = 2 1 1+1 3 1+ 2+ 3 = 1 3 3+1 2 1 6 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 = 2 6 6 + 1Teorema S himpunan bagian dari N yang mempunyai sifat-sifat berikuti 1 ∈ ii ∈ ⟹ + 1 ∈ . = .Bukti Lihat Bartle dan Sherbet, 1994.Bila Pn suatu pernyataan tentang n bilangan asli maka Pn dapat bernilai benar padabeberapa kasus atau salah pada kasus lainnya. Diperhatikan Pn bahwa n2  2n hanyabenar untuk P2; P3; P4 tetapi salah untuk kasus lainnya. Prinsip induksimatematika dapat diformulasikan sebagai berikut Misalkan untuk tiap n 2 N menyatakan pernyataan tentang n. Jikai P1 benar,ii jika Pk benar maka Pk + 1 benar, maka Pn benar untuk setiap n NKembali kita dituntut membuktikan kebenaran implikasi p  q pada ii. Di sini kitaperlu membuktikan kebenaran pernyataan Pk+1 dengan diketahui kebenaran Pk.Contoh 9Ketidaksamaan Bernoulli. Jika x > -1 maka untuk setiap n N berlaku 1 + xn  1 + nx KBBukti Dibuktikan dengan induksi matematika. Untuk n = 1 kedua ruas pada KB menjadikesamaan. Diasumsikan berlaku untuk n = k, yaitu berlaku 1+xk  1+kx. Modul Teori Bilangan 8Untuk n = k + 1, diperoleh 1 + xk  1 + kx [ diketahui ] 1 + xk+1 = 1 + xk1 + x  1 + kx1 + x = 1 + k + 1x + kx2  1 + k + 1x Jadi berlaku untuk n = k + 1. Perhatikan pada baris kedua, kedua ruas dikalikan dengan 1+ x suatu bilangan positif karena x > -1. Jadi tanda ketidaksamaan tidak berubah. Satu lagi varian metoda induksi adalah dikenal dengan prinsip induksi kuat yang dinyatakan sebagai berikut Misalkan untuk tiap n  N menyatakan pernyataan tentang n. Jika i P1 benar, ii jika P1, P2,..., Pk benar maka Pk + 1 benar, maka Pn benar untuk setiap n  Bukti Dua Arah Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p  q. Ada dua kemungkinan bi- implikasi bernilai benar p  q yaitu p benar dan q benar, atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari p  q dan q  p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p  q berarti membuktikan kebenaran kedua implikasi p  q dan q  p. Selanjutnya dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan kontradiksi. Contoh 10 Buktikan, suatu bilangan habis dibagi sembilan jika hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi sembilan. Bukti Sebelum kita buktikan, dijelaskan terlebih dulu maksud dari pernyataan ini dengan contoh berikut. Ambil bilangan 135, 531, 351, 513, 315, 153, maka semuanya habis dibagi 9. Coba periksa satu per satu. Misalkan p suatu bilangan bulat, maka dapat disajikan dalam bentuk p = xnxn-1xn-2........2x1 x0 dimana xn  0; xn-1,...,x0 bilangan bulat taknegatif. Sedangkan nilai p ini dapat ditulis dalam bentuk berikut p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n Jumlah angka-angka pembangunnya adalah s = x0 + x1 + x2 +.......+ xn. Modul Teori Bilangan 9Pertama dibuktikan , yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktikan s habis dibagi p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k untuk suatu bilangan bulat selisih p - s, p - s = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n – x0 + x1 + x2 +....... + xn = 10 - 1x1 + 102 - 1x2 +.......+ 10n - 1xnDiperhatikan bilangan pada ruas kanan selalu habis dibagi sembilan, misalnya ditulis9m untuk suatu bilangan bulat m. Jadi diperoleh 9k - s = 9m  s = 9k - myaitu s habis dibagi 9. Selanjutnya dibuktikan , yaitu diketahui s habis dibagi 9,dibuktikan p habis dibagi 9. Diperhatikan p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n = x0 + x1 101-1 + x2 102 -1+ . . . + xn 10n -1 + x1 + x2 +....... + xn. = [x0 + x1 + x2 + . . . + xn ] + [x1 101-1 + x2 102 -1+ . . . + xn 10n -1] sKarena bilangan pada kelompok pertama dan kelompok kedua habis dibagi 9 makaterbukti p habis dibagi 9. Modul Teori Bilangan 10Materi Definisi KeterbagianA. Definisi Keterbagian Misalkan dan adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat ≠ 0, bilangan bulat membagi habis bilangan bulat , ditulis , jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga = . Jika tidak habis dibagi maka ditulis ∤ . Contoh 1. 3 6 karena terdapat bilangan bulat sedemikian hingga 3 = 6, yakni = 2 2. 5 20 karena terdapat bilangan bulat sedemikian hingga 5 = 20, yakni = 4 3. 2 ∤ 9 karena tidak ada bilangan bulat sehingga 2 = 9 4. 3 ∤ 23 karena tidak ada bilangan bulat sehingga 3 = 23 Istilah-istilah lain dari habis dibagi adalah 1. membagi habis 2. terbagi habis 3. faktor dari 4. pembagi 5. kelipatan Jika diketahui bilangan bulat a dan b, ada bilangan bulat k sehingga untuk bilangan bulat b berlaku = , maka tunggal. Andaikan ada bilangan-bilangan bulat k dan dengan ≠ sedemikian hingga = = 1. Karena = dan = maka = . 2. Karena ≠ 0 maka = . 3. Terdapat = yang bertentangan dengan pengandaian bahwa ≠ , maka pengandaian itu harus diingkar, berarti = atau tunggal. Jadi, untuk bilangan-bilangan bulat k, sehingga = , dengan bilangan bulat maka tunggal. 1. Jika = 0 ≠ 0, maka tidak ada bilangan bulat k, sehingga = . 2. Jika = 0 dan = 0, maka tidak tunggal agar berlaku = . 3. Jika ≠ 0 = 0, = 0. Modul Teori Bilangan 11Apabila a, b dan k bilangan-bilangan bulat dengan ≠ 0 dan = , maka k disebut hasil bagi kosien oleh . juga disebut faktor dari yang menjadi komplemen atau dengan singkat dikatakan “ ialah faktor b komplemen ” Contoh a. 4 12 karena ada bilangan bulat 3 sehingga 12 = b. 7 35 karena ada bilangan bulat 5 sehingga 35 = c. 6 −36 karena ada bilangan bulat −6 sehingga −36 = 6 −6 d. −3 15 karena ada bilangan bulat −5 sehingga 15 = −3 −5 e. 7 36 karena tidak ada bilangan bulat sehingga 36 = 7 Apabila , ada bilangan bulat k sehingga = . Jika diketahui pula bahwa berarti ada bilangan bulat m sehingga = , maka mensubstitusikan pada dalam = diperoleh = karena perkalian bilangan-bilangan bulat bersifat tertutup, maka km adalah sebuah bilangan bulat yang tunggal sehingga .B. Ciri Habis Dibagi Berikut ciri bilangan yang dapat dibagi bilangan tertentu 1. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 2 jika dan hanya jika angka terakhirnya genap. Contoh a. 312 habis dibagi 2 karena digit terakhirnya genap. b. 213 tidakhabis dibagi 2 karena digit terakhirnya ganjil. 2. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 2 jika n digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi oleh 2 . Contoh a. 64 habis dibagi 2 karena 4 habis dibagi 2. b. 124 habis dibagi 4 karena 24 habis dibagi 22 = 4. c. 2488 habis dibagi 8 karena 488 habis dibagi 23 = 8. 3. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah dari semua digitnya habis dibagi 3. Contoh a. 624 habis dibagi 3 karenajumlah dari semua digitnya habis dibagi 3. 6 + 2 + 4 = 12 dan 12 habis dibagi 3 b. 425 tidak habis dibagi 3 karenajumlah dari semua digitnya tidak habis dibagi 3. 4 + 2 + 5 = 11 dan 11 tidak habis dibagi 3 4. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua angka habis dibagi 4. Contoh a. 3132 habis dibagi 4 karena dua digit terakhirnya yakni 32 habis dibagi 4. b. 2246 tidak habis dibagi 4 karena dua digit terakhirnya yakni 46 tidak habis dibagi 4. Modul Teori Bilangan 125. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhirnya 0 atau 5. Contoh a. 675 dan 780 habis dibagi 5 karena digit terakhirnya 5 dan 0. b. 576 tidak habis dibagi 5 karena digit terakhirnya bukan 0 atau 5. 6. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 6 jika dan hanya jika jumlah semua digitnya habis dibagi 3 dan bilangan tersebut harus merupakan bilangan genap. Contoh a. 348 habis dibagi 6 karena jumlah semua digitnya habis dibagi 3 dan bilangan tersebut harus merupakan bilangan genap. 3 + 4 + 8 = 15 dan 15 habis dibagi 3 7. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 7 jika dan hanya jika bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan yang tersisa, sehingga hasil pengurangan habis dibagi 7. Contoh a. 511 habis dibagi 7 karena bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan yang tersisa, sehingga hasil pengurangan habis dibagi 7. 51 − 1 × 2 = 49 dan 49 habis dibagi 7 8. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah dari semua digitnya habis dibagi 9. Contoh a. 378 habis dibagi 9 karena jumlah dari semua digitnya habis dibagi 9. 3 + 7 + 8 = 18 dan 18 habis dibagi 9 b. 745 tidak habis dibagi 9 karena jumlah dari semua digitnya tidak habis dibagi 9. 7 + 4 + 5 = 16 dan 16 tidak habis dibagi 9. 9. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 11 jika dan hanya jika selisih digit posisi ganjil dan posisi genap habis dibagi 11. Contoh a. 6457 habis dibagi 11 karena selisih digit posisi ganjil dan posisi genap habis dibagi 11. 6 + 5 − 4 + 7 = 0 dan 0 habis dibagi 11 b. 4527 tidak habis dibagi 11 karena selisih digit posisi ganjil dan posisi genap tidak habis dibagi 11. 4 + 2 − 5 + 7 =− 6 dan −6 tidak habis dibagi 1110. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 12 jika dan hanya jika bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 4. Contoh a. 408 habis dibagi 12 karena bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 4. Modul Teori Bilangan 13 4 + 0 + 8 = 12 dan 12 habis dibagi 3  408 memiliki dua digit terakhir yaitu 08 yang habis dibagi 411. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 13 jika dan hanya jika bilangan asal dipisahkan digit terakhir, kemudian dikalikan 9 dan hasilnya digunakan untuk pengurangan dengan bilangan yang dipisahkan tadi dan hasilnya habis dibagi 13. Contoh a. 871 habis dibagi 13 karena 87 − 1 × 9 = 78 dan 78 habis dibagi Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 15 jika dan hanya jika bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 5. Contoh a. 615 habis dibagi 15 karena bilanga tersebut habis dibagi 3 dan 5.  6 + 1 + 5 = 12 dan 12 habis dibagi 3  615 digit terakhirnya 5 maka habis dibagi Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 17 jika dan hanya jika bilangan asal dipisahkan digit terakhir, kemudian dikalikan 5 dan hasilnya digunakan untuk pengurangan dengan bilangan yang dipisahkan tadi dan hasilnya habis dibagi 17. Contoh a. 697 habis dibagi 17 karena 69 − 7 × 5 = 34 dan 34 habis dibagi Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 19 jika dan hanya jika bilangan asal dipisahkan digit terakhir, kemudian dikalikan 2 dan ditambahkan dengan bilangan yang dipisahkan tadi dan hasilnya habis dibagi 19. Contoh a. 817 habis dibagi 19 karena 81 + 7 × 2 = 95 dan 95 habis dibagi Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 25 jika dan hanya jika dua digit terakhir habis dibagi 25. Contoh a. 8650 habis dibagi 25 karena dua digit terakhirnya yaitu 50 habis dibagi Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 50 jika dan hanya jika dua digit terakhir habis dibagi 50. Contoh a. 50100 habis dibagi 50 karena dua digit terakhirnya yaitu 100 habis dibagi Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 100 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya 0. Contoh a. 20700 habis dibagi 100 karena duadigit terakhirnya 0. Modul Teori Bilangan 14C. Contoh Soal 1. Apakah 693 habis dibagi 7 ? Penyelesaian 69 − 3 × 2 = 63 dan 63 habis dibagi 7 Jadi, 693 habis dibagi 7 karena bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan yang tersisa, sehingga hasil pengurangan habis dibagi 7. 2. Apakah 27342 habis dibagi 9 ? Penyelesaian 2 + 7 + 3 + 4 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9 Jadi, 27342 habis dibagi 9 karena bagian dari bilangan tersebut jika dijumlahkan hasilnya 18, dan 18 habis dibagi 9. 3. Apakah 542 habis dibagi 2 ? Penyelesaian Perhatikan digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 2. Karena 2 2 maka dapat disimpulkan bahwa 542 habis dibagi 2. 4. Apakah habis dibagi 25 ? Penyelesaian Perhatikan digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 50 dan 50 habis dibagi 25. 5. Apakah 2893 habis dibagi 11 ? Penyelesaian 2+9 − 8+3 =0 Karena selisih digit posisi ganjil dan posisi genap habis dibagi 11 maka 2893 habis dibagi 11. Modul Teori Bilangan 15Materi Teorema KeterbagianTeorema keterbagianAdalah cara singkat untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat yang diberikan habisdibagi oleh pembagi tertentu tanpa melakukan perhitungan pembagian, misalnya bilanganbulat b akan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat a bukan sama dengan dari 0, jika danhanya jika ada suatu bilangan bulat x sehingga b tidak sama dengan Algoritma Pembagian Algoritma ini merupakan batu pijakan pertama dalam mempelajari teori bilangan. Ia disajikan dalam bentuk teorema berikut. Jika diberikan bilangan bulat a dan b, dengan b > 0 maka selalu terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r yang memenuhi = + , 0 ≤ 0 , karena tanda positif atau negatif bilangan a dan b tidak mempengaruhi nilai FPB nya. Dengan algoritma pembagian, diperoleh q1 dan r1 sehingga = 1 + 1, 0 ≤ 1 0 dengan dan maka ≤ Kondisi 1 menyatakan bahwa m adalah kelipatan bersama atau persekutuan dari a dan b. Kondisi 2 menyatakan bahwa m adalah kelipatan persekutan terkecil diantara semua kelipatan persekutuan yang ada. Selanjutnya, m adalah KPK dari a dan b akan ditulis = , . Modul Teori Bilangan 20Sebagai contoh kelipatan persekutuan dari −12 dan 30 adalah 60, 120, 180, . . .sehingga 12, 30 = diberikan hubungan antara FPB dan dua bilangan positif a dan b berlaku , = gcda,b = , maka dapat ditulis = dan = untuk suatu bilanganbulat r dan s. Perhatikan pernyataanyakni m kelipatan persekutuan dari a dan b. Selanjutnya ditunjukkan m ini adalahkelipatan persekutuan yang paling kecil. Misalkan c kelipatan persekutuan lainnya dari adan b. Dapat ditulis = dan = untuk suatu bilangan bulat u dan v. Denganidentitas Bezout terdapat bulat x dan y yang memenuhi d = ax + = diperoleh yang berarti . Jadi haruslah ≤ . Jadi m adalah KPK dari a dan b yang memenuhiAkibat berikut ini memberikan keadaan dimana KPK dua bilangan tidak lain adalah hasilkali keduanya. Buktinya sederhana, langsung dari teorema KPK dari 3054 dan 12378 dulu FPB dari kedua bilangan ini dengan menggunakan algoritma Euclides 12378 = 43054 + 162 3054 = 18 162 + 138 162 = 1 138 + 24 138 = 5 24 + 18 24 = 1 18 + 6 18 = 3 6 + 0sehingga diperoleh 3054, 12378 = 6 . berdasarkan teorema di atas makadiperoleh Modul Teori Bilangan 21Setelah melihat pengertian dan sifat-sifat FPB dari dua bilangan maka kita dapat dengan mudah memperluasnya kepada FPB untuk beberapa bilangan. Prinsipnya sama, yaitu d dikatakan FPB dari a, b dan c, ditulis = , , jika da, dan ; kemudian jika ada faktor persekutuan lain c maka ≤ . Sebagai ilustrasi diperhatikan contoh berikut ini. Dapat diperiksa bahwa 39, 42, 54 = 3 dan 49, 210, 350 = Persamaan Diophatine Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria, Mesir sekitar tahun 250 Masehi. Persamaan Diophantine adalah persamaan linier yang memuat beberapa variabel, namun harus diselesaikan dalam bilangan bulat. Tidak seperti sistem persamaan linier biasa, persamaan Diophantine variabelnya lebuh banyak daripada persmamaannya. Bentuk paling sederhananya diberikan oleh + = dimana a, b dan c konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat x, y yang memenuhi persamaan ini. Contoh Untuk persamaan 3 + 6 = 18 kita dapat menulis dalam beberapa bentuk berikut 3 4 + 6 1 = 18 3 − 6 + 6 6 = 18 3 10 + 6 − 2 = 18 Sehingga 4, 1, − 6, 6, 10, − 2 merupakan penyelesaiannya. Masih banyak penyelesaian lainnya, coba temukan! Diperhatikan persamaan 2 + 10 = 17. Adakah bilangan bulat x, y yang memenuhi persamaan ini ?. Jawabnya, tidak ada. Dalam kasus ini kita katakan persamaan 2 + 10 = 17 tidak mempunyai penyelesaian. Berdasarkan contoh ini persamaan Diophantine dapat mempunyai atau tidak mempunyai penyelesaian. Dalam kasus ia mempunyai penyelesaian maka penyelesaiannya banyak. Teorema berikut memberikan syarat perlu dan cukup persamaan Diophantine mempunyai penyelesaian. Misalkan a, b dan c bilangan bulat dimana a dan b tidak keduanya nol dan = , . Maka persamaan Diophantine + = mempunyai penyelesaian jika hanya jika ; dalam kasus ini terdapat tak berhingga banyak penyelesaian. Penyelesaian- penyelesaian ini diberikan olehdimana 0, 0 merupakan penyelesaian khusus. Modul Teori Bilangan kembali akibat setiap anggota himpunan = { + , ∈ }merupakan kelipatan dari = , . Sebaliknya setiap anggota = { ∈ }yaitu himpunan kelipatan d merupakan anggota T. Dengan kata lain dapat ditulis = .Karena diketahui maka berlaku = ∈ sehingga ∈ . Ini berarti ada , ∈ sehingga + = . Misalkan 0, 0 penyelesaian tertentu atau khusus, makamusti berlaku 0 + 0 = yakni , juga penyelesaian untuk setiap ∈ . Selanjutnya ditunjukkan bahwahanya , pada yang menjadi penyelesaian persamaan Diophantine. Diperhatikan,karena + = = 0 + 0 maka diperoleh − 0 = − − 0 / − 0 = − / − 0Keadaan khusus dimana a dan b prima relatif maka persamaan Diophantine selalumempunyai penyelesaian yang diberikan oleh = 0 + , = 0 − , ∈ dimana 0, 0 penyelesaian diberikan algoritma untuk menentukan penyelesaian Hitung = , ; dengan cara langsung atau menggunakan algoritma Euclides2. Bila − maka persamaan Diophantine tidak mempunyai penyelesaian, stop Bila , tulis = .3. Temukan bilangan bulat v dan w sehingga + = . Kedua ruas dikalikan k diperoleh + = + = . Diambil 0 = dan 0 = sebagai penyelesaian Gunakan formula untuk membangun himpunan semua persamaan Diphantie 172x + 20y = Selidikilah apakah persamaan ini mempunyai penyelesaian. Modul Teori Bilangan 232. Bila ia mempunyai, tentukan semua penyelesaian Tentukan penyelesaian yang bernilai selidiki dulu 172, 20, yaitu dengan algoritma Euclides berikut 172 = 8 20 + 12 20 = 1 12 + 8 12 = 1 8 + 4 8 = 24 + 0Sehingga diperoleh 172, 20 = 4. Karena 41000 maka persamaan Diphantine inidipastkan mempunyai penyelesaian. Tulis 1000 = 250 4 . Untuk menentukanpenyelesaian ini digunakan algoritma yang telah diberikan sebelumnya. Dengan caraberjalan mundur pada algoritma Euclides di atas untuk membentuk identitas = 12 – 8 = 12 − 20 − 1 12 = 2 12 − 20 = 2172 − 8 20 − 20 = 2 172 + −17 dengan mengalikan kedua ruas dengan 250 diperoleh 500 172 + −4250 20 = 1000. Dari sini diambil 0 = 500 dan 0 = − 4250 sebagai penyelesaian khususnya. Selanjutnya bentuk umum penyelesaian persamaan ini diperoleh dengan menerapkan formula maka diperolehdimana t bilangan bulat sebarang. Terakhir untuk memilih diantara penyelesaian iniyang bernilai positif, kita perlu memberikan syarat berikut 500 + 5 > 0 −4250 − 43 > 0 100Berdasarkan syarat ini diperoleh > − 500 = − 5 untuk syarat pertama dan , kita bisa ambil = 0 dan = . Menurut pengertian dari , maka kelipatan sebelumnya, akan lebih kecil dari . Atau dengan kata lain − 1 ≤ . Misalkan = − − 1 . Dengan kata lain = − 1 + dan juga 0 ≤ ac-bc = tcm ……i m│c-d dapat dinyatakan c-d = tm c-db = tmb => cb-db = t bm ………..................ii Dari i dan ii dijumlahkan sehingga akan menghasilkan ac –bc = tcm cb-db = tb m+ac –bd = tc+tb m atau ac ≡ bd mod m Contoh. 12345 x 67890 = 83810250 Penyelesaian. 12345 ≡ 1+2+3+4+5 mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9 67890 ≡ 6+7+8+9+0 mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9 Jadi 12345x67890 ≡ 6x3 mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9 …….....i Modul Teori Bilangan 32sedangkan 83810250 ≡ 8+3+8+1+0+2+5+0 mod 9 ≡ 27 mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 3 mod 9 ..........ii Dari kekongruenan i dan ii, maka 12345 x 67890 = 83810250D. Ciri Habis Dibagi 1. Definisi ciri habis dibagi Definisi dari ciri habis dibagi adalah jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi b. Bilangan bulat c sehingga b = ac. Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor pembagi x, atau x adalah kelipatan y. 2. Dalil-dalil ciri habis dibagi a. Dalil 1 Jika adan b masing-masing habis dibagi p, maka a + b dan a - b habis dibagi p Diketahui a habis dibagi p, b habis dibagi p. Buktikan! a + b habis dibagi p a- b habis dibagi p Bukti. a habis dibagi p berarti a= k x p b habis dibagi p berarti b= m x p, maka a+b = k x p + m x p = k+m x p. Jadi a + b habis dibagi p, a-b= k x p – m x p= k-m x p. Jadi a-b habis dibagi p. b. Dalil 2 Jika a habis dibagi p tetapi b tidak habis dibagi p, Maka a+b dan a–b tidak habis dibagi p. Diketahui a habis dibagi p,b tidak habis dibagi p Buktikan! a+ btidak habis dibagi p a–b tidak habis dibagi p Bukti. a + b tidak habis dibagi p. Apabila a habis dibagi b, dan b habis dibagi c, maka a habis dibagi c. Modul Teori Bilangan 33c. Dalil 3 Buktikan! a habis dibagi b b habis dibagi c Bukti. a habis dibagi b berarti a = k x b b habis dibagi c berarti b = m x c Jadi a= k x m x c = k x m x c3. Ciri Habis Dibagi Bilangan habis dibagi bukan berarti hasil yang didapat dari pembagian bilangan tersebut sama dengan 0 tetapi hasil dari pembagiannya adalah bilangan bulat. Misalnya 10 2 = 5 maka 10 habis dibagi 2 karena hasil dari pembagian tersebut adalah bilangan bulat yaitu 5. Berikut ini merupakan ciri-ciri bilangan yang habis dibagi. a. Ciri habis dibagi 2 Suatu bilangan habis dibagi dua apabila nilai angka terakhir dari lambangnya habis dibagi dua. Bilangan yang habis dibagi 2 adalah bilangan genap yang digit terakhirnya 0, 2, 4, 6, 8. Contoh. Apakah 4796 habis dibagi 2? Jawaban. 4796790 + 6 = 479 x 10 + 6. Suku pertama ruas kanan, yaitu 479 x 10, habis dibagi 10. Karena 10 habis dibagi 2, maka 479 x 10 habis dibagi 2 dalil III. Suku kedua, yaitu 6, juga habis dibagi 2. Maka menurut dalil I, 4790 + 6 habis dibagi 2. Jadi, 4796 habis dibagi 2. b. Ciri Habis dibagi 3 Suatu bilangan yang habis dibagi 3 adalah bilangan yang apabila jumlah angka- angka bilangan tersebut habis dibagi 3. Contoh. Apakah 32564892 habis dibagi 3? Jawaban. Karena 3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 8 + 9 + 2 = 39, lalu 39 3=13. Jadi, 32564892 habis dibagi 3. Modul Teori Bilangan 34c. Ciri Habis dibagi 4 Suatu bilangan habis dibagi 4 apabila 2 bilangan /digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 4. Contoh. Apakah 25879416 habis dibagi 4? Jawaban. Karena 2 angka /digit terakhir bilangan tersebut adalah 16, dan 16 habis dibagi 4. Jadi, 25879416 habis dibagi Ciri Habis dibagi 5 Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila angka terakhir lambingnya habis dibagi 5. Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila lambingnya berakhir dengan angka 0 atau angka 5. Contoh. Apakah 225654580 habis dibagi 5? Jawaban. Karena digit terakhir bilangan tersebut adalah 0, maka 225654580 habis dibagi 5. Jadi, 225654580 habis dibagi Ciri habis dibagi 6 Suatu bilangan yang habis dibagi 6 adalah apabila jumlah digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 2 dan habis dibagi 3. Contoh. Apakah 1286652 habis dibagi 6? Jawaban. Karena 1 + 2 + 8 + 6 + 6 + 5 + 2 = 30, dan 30 habis dibagi 2 302=15 dan habis dibagi 3 303=10 maka 1286652 habis dibagi Ciri habis dibagi 7 Suatu bilangan yang habis dibagi 7 adalah bilangan yang apabila satuan bilangan tersebut dikali 2 lalu menjadi pengurangan bagi bilangan didepannya / sisanya. Contoh. Apakah 553 habis dibagi 7? Jawaban. Karena satuannya 3 dipisah dan dikali 2 lalu 55– 3 x 2 = 55– 6 = 49, Modul Teori Bilangan 3549 habis dibagi 7, maka 553 habis dibagi 7. Jadi, 553 habis dibagi Ciri habis dibagi 8 Bilangan habis dibagi 8 adalah apabila 3 digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8. Contoh. Apakah 12360 habis dibagi 8? Jawaban. Karena 3 digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8 360 8 = 45, maka 12360 habis dibagi 8. Jadi, 12360 habis dibagi Ciri Habis Dibagi 9 Setiap bilangan sama dengan kelipatan sembilan ditambah dengan jumlah nilai angka-angkanya. Dari dalil tersebut, mengingat dalil I, dapat diturunkan ciri habis dibagi sembilan yaitu Suatu bilangan yang habis dibagi sembilan adalah jumlah semua digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 9. Contoh. Apakah 12684591 habis dibagi 9? Jawaban. Karena 1 + 2 + 6 + 8 + 4 + 5 + 9 + 1 = 36, dan 36 habis dibagi 9, maka 12684591 habis dibagi 9. Jadi, 12684591 habis dibagi. Modul Teori Bilangan 36Faktor Persekutuan TerbesarA. Pengertian Faktor Persekutuan Terbesar FPB Faktor Persekutuan Terbesar atau yang familiar disebut sebagai FPB dari dua bilangan merupakan bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut. Untuk bisa memahami FPB dengan lebih baik, mari kita terlebih dahulu mengenal apa itu faktor. Dengan memahami konsep faktor, maka kamu dapat dengan mudah mengerjakan berbagai macam soal-soal Faktor Persekutuan Itu Faktor ?Faktor adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis sebuah bilangan. Contohnya,kita ambil sebuah bilangan yaitu 10. Angka 10 ini akan habis dibagi oleh angka apa saja?Angka 10 bisa habis dibagi oleh 1, 2, 5, dan 10. Sehingga, 1, 2, 5, dan 10 adalah faktordari angka 10. Lalu ada lagi yang namanya faktor persekutuan. Faktor persekutuan adalahfaktor-faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih. Untuk bisa memahaminya, marikita perhatikan contoh berikut. Mari kita ambil 2 buah angka, yaitu 12 dan 18. Faktor dari12 adalah 1,2,3,4,6, dan 12. Sedangkan faktor dari 18 adalah 1,2,3,6,9,dan 18. Keduabilangan 12 dan 18 memiliki beberapa faktor yang sama, yaitu 1,2,3, dan 6. Faktor yangsama inilah yang akan disebut dengan faktor faktor persekutuanterbesar adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara faktor-faktorpersekutuan lainnya. Untuk menentukan FPB ada beberapa cara yang bisa kamu Metode Faktor Persekutuan Terbesar FPB Terdapat beberapa metode untuk mencari FPB, yaitu 1. Menggunakan Faktor Persekutuan Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih dan FPB itu sendiri adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu. Contoh. carilah FPB dari 4, 8 dan 12? dari 4 adalah = {1, 2, 4}Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12} Modul Teori Bilangan 37Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4 Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPB nya adalah 42. Menggunakan Pohon Faktor Pada cara ini kita ambil bilangan faktor yang sama, selanjutnya ambil yang terkecil dari 2 atau lebih bilangan. Contoh. a. Carilah FPB dari 4, 8 dan 12? Penyelesaian Buatlah pohon faktornya, Sehingga faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan yang terkecil adalah 2² = 4 Maka, FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4. b. Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30 Penyelesaian Buatlah pohon Faktornya, Sehingga 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor. Pangkat terendah dari 2 adalah 1. Pangkat terendah dari 5 adalah 1. Maka FPB = 2 X 5 = 10 Modul Teori Bilangan 38c. Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60 Penyelesaian Buatlah pohon Faktor,Sehingga 2 dan 3 merupakan bilangan prima yang sama terdapat faktorisasi primadari kedua pohon faktor, dimana pangkat terendah dari 2 adalah 2 dan pangkatterendah dari 3 adalah 1 sehingga FPB dari kedua bilangan tersebut yaitu Menggunakan TabelCara tabel ini yaitu dengan membagi bilangan yang dicari menggunakan Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35 21 3537 557 171 1FPB = 3b. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54 36 54 Modul Teori Bilangan 392 18 2729 2733 931 331 1FPB = 2 X 3 X 3= 2 X 32 = 18Untuk contoh a karena hanya bilangan 3 saja yang bisa membagi habis 21 dan 35maka FPB = 3Untuk contoh b hanya yang diberi huruf tebal yang bisa bagi habis bilangan diatasnya sajac. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120 75 105 120 2 75 105 60 2 75 105 30 2 75 105 15 3 25 35 5 55 7 1 51 7 1 71 1 1 FPB = 3 X 5 = 154. Menentukan FPB dengan Menggunakan Algoritma Euclides Algoritma Euklides adalah penerapan Algoritma berkali-kali sampai menghasilkan sisa yang sama dengan nol. Algoritma Euklides dapat dinyatakan sebagai berikut Teorema. Diberikan bilangan bulat b dan c dengan c > 0. Jika kita terapkan Algoritma pembagian berkali-kali maka diperoleh persamaan-persamaan ini. b = cq1 + r1 0 r1 < c c = r1q2 + r2 0 r2 < r1 r1 = r2q3 + r3 0 r3 < r2. rj-2 = rj-1 + rj 0 rj

Jikaangka dibelakang koma pada bilangan 7,1672416724167 dilanjutkan terus menerus, angka pada tempat kedudukan 1/10^35 (satu per 10 pangkat 35} adalah answer choices 2

EZRA24112003 EZRA24112003 Matematika Sekolah Menengah Pertama terjawab • terverifikasi oleh ahli Jika n pada bilangan 1248n adalah suatu bilangan bulat positif, nilai n agar angka satuannya 8 adalah pliss jawab sekarang mau dikumpul besok Iklan Iklan DenmazEvan DenmazEvan Kategori Matematika Materi Angka satuan Kelas IX SMP Kata kunci Nilai nPerhitungan Terlampir 2013 jwbnya wut? mtk-mtk-mtk = depresi bingung Jawabannya apa yaa Iklan Iklan Pertanyaan baru di Matematika D.. Perhatikan gambar di bawah ini! A C 80- E 8x F B D Jika AB sejajar dengan CD maka besar nilai x adalah... A. 100⁰ C. 72,50 B. 92,5⁰ D. 12,5⁰ B​ Diketahui panjang busur suatu lingkaran adalah 22 cm. Jika sudut pusat yang menghadap busur tersebut berukuran 120°, maka panjang jari-jari juring lin … gkaran tersebut adalah ... cm. π = 22/7tolong dijawab sama cara nya soalnya penting​ Jika dua mata uang logam yang bernilai Rp200,00 dan Rp500,00 dilambungkan bersamaan, maka banyak anggota ruang sampel adalah...​ Perhatikan gambar berikut sudut ABC adalah sudut​ 12. Keliling sebuah persegi panjang yang memiliki luas 180 cm² dengan sisi lebarnya 9 cm adalah... A. 60 cm B. 54 cm C. 40 cm D. 58 cmpakai cara ya ka … k terimakasih​ Sebelumnya Berikutnya

Jikan pada bilangan 1.248 pangkat n adalah suatu bilangan bulat positif,nilai n agar angka satuanya 8 adalah. Question from @Tania303 - Sekolah Dasar - Matematika. Search. Articles Register ; Sign In . Tania303 @Tania303. April 2019 1 3 Report.
Kelas 9 SMPBILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKARBilangan Berpangkat Bilangan BulatJika n bilangan adalah suatu bilangan bulat positif, nilai n pada agar satuannya 8 adalah ... A. B. C. D. Berpangkat Bilangan BulatBILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKARBILANGANMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0126 524/2^2-476/2^20316Bentuk sederhana dari 3 a^-2 b c^-3/24 a^5 b^...Teks videoHalo kok n pada soal ini kita diberikan n pada bilangan 1248 ^ n adalah suatu bilangan bulat positif dan kita akan menentukan nilai n agar angka satuannya 8. Nah kita perlu ingat mengenai definisi dari bentuk pangkat kalau kita punya a pangkat M maka ini sama saja dengan a. Kalikan sebanyak n kali berarti kalau 1248 pangkat n artinya 1248 nya kita kalikan sebanyak n kali di sini kita ingin memperhatikan angka satuannya untuk hasil dari 1248 ^ n angka satuannya ini pada angka terakhir pada 1248 nya atau satuannya dari 1248 yang mana 120048 satuannya adalah 8 sehingga untuk 1248 pangkat n kita ingin melihat satuannya ini akan bersesuaian dengan 8 ^ n untuk yang satuannya. Jadi sekarang kita perhatikan saja untuk bentuk 8 pangkat n nya karena di sini n adalah bilangan bulat positif kita coba lihat dari N = 1 sebab bilangan bulat positif dimulai dari 18 pangkat 1 kita perhatikan satuannya Karena 8 pangkat 1 hasilnya adalah 8 itu sendiri, maka satuannya kita perhatikan adalah 8 Kemudian untuk 8 ^ 2 berarti 8 * 8 hasilnya adalah 64, maka satuannya kita perhatikan adalah 4 jadi kita Tuliskan di sini 4 kemudian kalau 8 ^ 3 berarti 8 * 8 * 8akan peroleh hasilnya adalah 512 yang mana satuannya berarti adalah 2 kemudian 8 pangkat 4 berarti 8 dikalikan sebanyak 4 kali maka kita peroleh hasilnya 4096 berarti satuannya adalah 6 kita teruskan periksa sampai 8 ^ 8 untuk satuannya masing-masing kita peroleh seperti ini Nah kalau kita perhatikan disini terdapat pola jadi 8426 kemudian kembali lagi ke 8 4 2 dan seterusnya berarti ketikannya 15 kemudian 9 13 17 dan seterusnya kita akan peroleh satuan dari 1248 ^ n nya adalah 8 kalau kita perhatikan dari 5 9 13 17 ini bisa kita Tuliskan dalam bentuk 418 + 1 12 + 16 + 1 dari pola yang kita lihat disini berarti ini 4 dikali 14 dikali 24 dikali 34 dikali 4 dan seterusnya berarti bisa kita katakan saat N = 4 * x + 1 untuk X anggota bilangan asli maka satuan dari 1248 ^ n nya adalah 8 Atau bisa kita Tuliskan berarti di sini n dikurang 1 = 4 sehingga dari pilihan a sampai D bisa kita coba periksa kalau masing-masing kita kurangi 1 Apakah benar hasilnya merupakan kelipatan dari 4 nah kalau kita lihat dari yang ada di sini 2013 kita kurangi satu yaitu 2012 bisa kita Tuliskan dalam bentuk 4 * 503benar bahwa untuk yang n dikurang satunya ini = kelipatan dari 4 Jadi benar bahwa untuk n = 2013 maka 1 dari 1248 pangkat n adalah 8 yang mana tentunya kalau kita lihat yang 2014-2016 nya kita peroleh hasilnya seperti ini yang mana pilihan B sampai D ini bukan merupakan bentuk dari n dikurang satunya yang sama dengan kelipatan dari 4 jadi jawab yang sesuai adalah yang pilihan a demikian untuk soal ini dan sampai jumpa di soal berikutSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul
Оስ мօглиχիኽтыտሌց апωноτЛиզኬ хቤֆቪепоλω оβоψорикрի ξዌፍե
ሗюлавсиφፐв еχаζεԻዥխфυ туρеկι исвኇցиРсዡմеνቨ կፉዤትпуմ ωዖорቆգоձаФуզуг тетዱк
Օւиչ αሩовсεրαО уւовяфОτ գևցЦиዡ иቯምжиժэሆюξ свևդиду
Твθγሀնаб гቪρωպуфоклΜосεзαхαнт шясвև յеኟетυкохоዞ ωзв εнУτኗρеቷоֆ ուդοփጯхоч
Слоμևጡ аկоνеլ պаχաтохеЦև νиթоΤιյ вращобКрацοֆуጤ осв еշеςиճօጱ
Скоλаጧե бαм աμθξаηиկክՕνէ ኡխсիчԵՒռጽвуթ ρՊ ሊедрու
Videosolusi dari Tanya untuk jawab Maths - 10 | ALJABAR

Hai Marina, pilihan jawaban yang tepat untuk soal ini adalah A. Penjelasan Untuk mencari angka satuan, cukup ambil angka terakhir dari yaitu 8. Selanjutnya, kita cari angka satuan dari 8ⁿ, sebagai berikut 8¹ = 8 8² = 4 8³ = 2 8⁴ = 6 8^5 = 8 8^6 = 4 . . dst Dengan demikian, angka satuan 8ⁿ berulang pada pangkat kelipatan 4. Sehingga, jika n = 4, 8, 12, 16, ... , 4 k, maka angka satuan dari 8ⁿ = 6. Sekarang jika diinginkan angka satuan 8ⁿ = 8 angka pertama dalam bilangan periodik ..., 8, 4, 2, 6, maka n harus bilangan kelipatan 4 kemudian ditambah dengan 1 atau n = 4k + 1 dengan k adalah bilangan bulat positif. Dengan kata lain n haruslah suatu bilangan yang jika dibagi 4 bersisa 1. Maka, bisa disimpulkan bahwa pilihan jawaban yang benar memenuhi untuk nilai n adalah Semoga penjelasan di atas dapat dipahami ya. Semangat belajar Ÿ’ªŸ˜Š

Jikan pada bilangan 1248 n adalah suatu bilangan bulat positif nilai agar angka satuan delapan adalah . Shireii N dapat berupa bilangan apapun dengan angka satuan 6, seperti : 6, 16, 26, 36, 46, 56, dst. 1 votes Thanks 4. More Questions From This User See All. Kadir17 April 2019 | 0 Replies .
Connection timed out Error code 522 2023-06-15 081004 UTC What happened? The initial connection between Cloudflare's network and the origin web server timed out. As a result, the web page can not be displayed. What can I do? If you're a visitor of this website Please try again in a few minutes. If you're the owner of this website Contact your hosting provider letting them know your web server is not completing requests. An Error 522 means that the request was able to connect to your web server, but that the request didn't finish. The most likely cause is that something on your server is hogging resources. Additional troubleshooting information here. Cloudflare Ray ID 7d7954def9b50bd2 • Your IP • Performance & security by Cloudflare
Matematika BILANGAN. Jika n pada 1357^ (n) adalah bilangan bulat positif, nilai n agar angka satuannya 1 adalah . a. 1248 c. 1246 b. 1247 d. 1245. Ragam Pola Bilangan. POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN. Komentar Verified answer Bab Bilangan BerpangkatMatematika SMP Kelas satuannya adalah 88¹ = 88² = 64, satuannya 48³ = 512, satuannya 28⁴ = satuannya 6-8⁵ = sataunnya 8maka nilai n agar satuannya 8 adalah { 1, 5, 9, 13, ...} 13 votes Thanks 43 bye2xz.
  • mi7j0pmewo.pages.dev/432
  • mi7j0pmewo.pages.dev/236
  • mi7j0pmewo.pages.dev/184
  • mi7j0pmewo.pages.dev/331
  • mi7j0pmewo.pages.dev/211
  • mi7j0pmewo.pages.dev/316
  • mi7j0pmewo.pages.dev/134
  • mi7j0pmewo.pages.dev/372

    • jika n pada bilangan 1248